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与えられた式 $\log_3 63 - \log_9 49$ を計算して、その値を求める問題です。

代数学対数対数の性質底の変換
2025/6/28

1. 問題の内容

与えられた式 log⁡363−log⁡949\log_3 63 - \log_9 49 を計算して、その値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を計算します。
log⁡363\log_3 63 は log⁡3(9×7)\log_3 (9 \times 7) と書き換えることができます。
対数の性質 log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y を使うと、
log⁡363=log⁡39+log⁡37=2+log⁡37\log_3 63 = \log_3 9 + \log_3 7 = 2 + \log_3 7 となります。
次に、log⁡949\log_9 49 を計算します。
log⁡949=log⁡9(72)\log_9 49 = \log_9 (7^2) と書き換えることができます。
対数の性質 log⁡a(xn)=nlog⁡ax\log_a (x^n) = n \log_a x を使うと、
log⁡949=2log⁡97\log_9 49 = 2 \log_9 7 となります。
ここで底の変換公式 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} を使い、底を3に変換すると、
log⁡97=log⁡37log⁡39=log⁡372\log_9 7 = \frac{\log_3 7}{\log_3 9} = \frac{\log_3 7}{2}
したがって、log⁡949=2log⁡97=2×log⁡372=log⁡37\log_9 49 = 2 \log_9 7 = 2 \times \frac{\log_3 7}{2} = \log_3 7 となります。
与えられた式にこれらの値を代入すると、
log⁡363−log⁡949=(2+log⁡37)−log⁡37=2\log_3 63 - \log_9 49 = (2 + \log_3 7) - \log_3 7 = 2 となります。

3. 最終的な答え

2

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