数列 ${5, 7, 11, 19, 35, 67, ...}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 ${5, 7, 11, 19, 35, 67, ...}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えます。階差数列は $2, 4, 8, 16, 32, ...$ となり、これは初項 $2$, 公比 $2$ の等比数列です。

したがって、階差数列の一般項は $2^n$ です。

元の数列の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

$a_1 = 5$ であるから、

$a_n = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \sum_{k=1}^{n-1} 2 \cdot 2^{k-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2(2^{n-1}-1) = 2^n - 2$

したがって、

$a_n = 5 + 2^n - 2 = 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n + 3$