与えられた数式の値を計算します。数式は $3 \sum_{k=1}^{n-1} k(k+3)$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は $3 \sum_{k=1}^{n-1} k(k+3)$ です。

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。

$k(k+3) = k^2 + 3k$

したがって、求める式は次のようになります。

$3 \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + 3k) = 3 \left( \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k \right)$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

これらを代入します。

$3 \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 3 \frac{(n-1)n}{2} \right) = 3 \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{9(n-1)n}{6} \right)$

$= 3 \left( \frac{(n-1)n(2n-1+9)}{6} \right) = 3 \frac{(n-1)n(2n+8)}{6} = \frac{(n-1)n(2n+8)}{2}$

$= \frac{(n-1)n \cdot 2(n+4)}{2} = (n-1)n(n+4)$

$= n(n-1)(n+4) = n(n^2 + 4n - n - 4) = n(n^2 + 3n - 4) = n^3 + 3n^2 - 4n$

3. 最終的な答え

$n^3 + 3n^2 - 4n$