階差数列を利用して、数列 $1, 2, 6, 15, 31, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

階差数列を利用して、数列 $1, 2, 6, 15, 31, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

階差数列は、数列の隣り合う項の差を取ることで得られます。

$2-1 = 1$

$6-2 = 4$

$15-6 = 9$

$31-15 = 16$

したがって、階差数列は $1, 4, 9, 16, \dots$ となります。

この階差数列は、$1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots$ と表せるため、一般項は $n^2$ となります。

つまり、数列 $a_n$ の階差数列を $b_n$ とすると、$b_n = n^2$ です。

次に、$a_n$ を求めるために、階差数列の和の公式を使用します。

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

$a_1 = 1$ であり、$b_k = k^2$ であるから、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ であるから、

$$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$$

$$a_n = 1 + \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} = \frac{6 + n(2n^2 - 3n + 1)}{6} = \frac{6 + 2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2-3+1+6}{6} = \frac{6}{6} = 1$

したがって、$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

もしくは、$a_1 = 1$ であり、$b_n = n^2$ であるから、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$$

$$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$