次の3つの絶対値不等式を解きます。 (1) $|x-5| < 3$ (2) $|x+2| \ge 4$ (3) $|2x+7| \le 2$

1. 問題の内容

次の3つの絶対値不等式を解きます。

(1) $|x-5| < 3$

(2) $|x+2| \ge 4$

(3) $|2x+7| \le 2$

2. 解き方の手順

(1) $|x-5| < 3$ の場合：

絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分けします。

$x-5 \ge 0$ つまり $x \ge 5$ のとき、 $x-5 < 3$ となり、$x < 8$。したがって、$5 \le x < 8$。

$x-5 < 0$ つまり $x < 5$ のとき、$-(x-5) < 3$ となり、$-x+5 < 3$。すると、$-x < -2$ より、$x > 2$。したがって、$2 < x < 5$。

以上より、$2 < x < 8$。

(2) $|x+2| \ge 4$ の場合：

絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分けします。

$x+2 \ge 0$ つまり $x \ge -2$ のとき、$x+2 \ge 4$ となり、$x \ge 2$。

$x+2 < 0$ つまり $x < -2$ のとき、$-(x+2) \ge 4$ となり、$-x-2 \ge 4$。すると、$-x \ge 6$ より、$x \le -6$。

以上より、$x \le -6$ または $x \ge 2$。

(3) $|2x+7| \le 2$ の場合：

絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分けします。

$2x+7 \ge 0$ つまり $x \ge -\frac{7}{2}$ のとき、$2x+7 \le 2$ となり、$2x \le -5$。すると、$x \le -\frac{5}{2}$。したがって、$-\frac{7}{2} \le x \le -\frac{5}{2}$。

$2x+7 < 0$ つまり $x < -\frac{7}{2}$ のとき、$-(2x+7) \le 2$ となり、$-2x-7 \le 2$。すると、$-2x \le 9$ より、$x \ge -\frac{9}{2}$。したがって、$-\frac{9}{2} \le x < -\frac{7}{2}$。

以上より、$-\frac{9}{2} \le x \le -\frac{5}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $2 < x < 8$

(2) $x \le -6$ または $x \ge 2$

(3) $-\frac{9}{2} \le x \le -\frac{5}{2}$