与えられた8つの2次不等式を解きます。

1. 問題の内容

与えられた8つの2次不等式を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)^2 \le 0$

$(x-1)^2$ は常に0以上なので、この不等式が成り立つのは $(x-1)^2 = 0$ のときのみです。

したがって、$x-1 = 0$ より、$x = 1$。

(2) $(x+4)^2 \ge 0$

$(x+4)^2$ は常に0以上なので、すべての実数 $x$ に対してこの不等式は成り立ちます。

(3) $x^2 + 4x + 4 < 0$

$(x+2)^2 < 0$

$(x+2)^2$ は常に0以上なので、この不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。

(4) $x^2 - 10x + 25 \ge 0$

$(x-5)^2 \ge 0$

$(x-5)^2$ は常に0以上なので、すべての実数 $x$ に対してこの不等式は成り立ちます。

(5) $4x^2 - 12x + 9 > 0$

$(2x-3)^2 > 0$

$(2x-3)^2$ は常に0以上なので、$2x-3 \ne 0$ であれば不等式は成り立ちます。

$2x-3 = 0$ となるのは $x = \frac{3}{2}$ のときなので、

$x \ne \frac{3}{2}$。

(6) $-x^2 - 8x - 16 > 0$

$-(x^2 + 8x + 16) > 0$

$-(x+4)^2 > 0$

$(x+4)^2 < 0$

$(x+4)^2$ は常に0以上なので、この不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。

(7) $-2\sqrt{2}x \ge x^2 + 2$

$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 \le 0$

$(x+\sqrt{2})^2 \le 0$

$(x+\sqrt{2})^2$ は常に0以上なので、この不等式が成り立つのは $(x+\sqrt{2})^2 = 0$ のときのみです。

したがって、$x+\sqrt{2} = 0$ より、$x = -\sqrt{2}$。

(8) $3(x-1)^2 - 12 \le 6x^2 - (3+x)^2$

$3(x^2 - 2x + 1) - 12 \le 6x^2 - (9 + 6x + x^2)$

$3x^2 - 6x + 3 - 12 \le 6x^2 - 9 - 6x - x^2$

$3x^2 - 6x - 9 \le 5x^2 - 6x - 9$

$0 \le 2x^2$

$x^2 \ge 0$

$x^2$ は常に0以上なので、すべての実数 $x$ に対してこの不等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) すべての実数

(3) 解なし

(4) すべての実数

(5) $x \ne \frac{3}{2}$

(6) 解なし

(7) $x = -\sqrt{2}$

(8) すべての実数