与えられた数列の和 $S_n$ を求めます。数列は $S_n = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + 13 \cdot 4^3 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n$ を求めます。数列は $S_n = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + 13 \cdot 4^3 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$ で表されます。

2. 解き方の手順

この数列は、等差数列と等比数列の積の形をしているため、等比数列の公比をかけて引く方法を用います。

まず、$S_n$ を書きます。

$S_n = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 4^2 + 13 \cdot 4^3 + \dots + (3n+1) \cdot 4^{n-1}$

次に、$S_n$ に公比 $4$ をかけた $4S_n$ を書きます。

$4S_n = 4 \cdot 4 + 7 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4^3 + \dots + (3n-2) \cdot 4^{n-1} + (3n+1) \cdot 4^n$

$S_n$ から $4S_n$ を引くと、

$S_n - 4S_n = 4 \cdot 1 + (7-4) \cdot 4 + (10-7) \cdot 4^2 + (13-10) \cdot 4^3 + \dots + ((3n+1)-(3n-2)) \cdot 4^{n-1} - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S_n = 4 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \dots + 3 \cdot 4^{n-1} - (3n+1) \cdot 4^n$

$-3S_n = 4 + 3(4 + 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{n-1}) - (3n+1) \cdot 4^n$

括弧の中は、初項 $4$、公比 $4$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$4 + 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{n-1} = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4-1} = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3} = \frac{4^n - 4}{3}$

したがって、

$-3S_n = 4 + 3 \cdot \frac{4^n - 4}{3} - (3n+1) \cdot 4^n = 4 + 4^n - 4 - (3n+1) \cdot 4^n = 4^n - (3n+1) \cdot 4^n = -3n \cdot 4^n$

$S_n = \frac{-3n \cdot 4^n}{-3} = n \cdot 4^n$

ただし、上記は $n \geq 2$ の場合です。

$n=1$ のとき、$S_1 = 4 \cdot 1 = 4$ であり、$1 \cdot 4^1 = 4$ なので、$n=1$ の場合も成立します。

3. 最終的な答え

$S_n = n4^n$