与えられた2つの不等式を数学的帰納法を用いて証明する問題です。 (1) $n$ が自然数のとき、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 < \frac{(n+1)^3}{3}$ (2) $n$ が3以上の自然数のとき、$3^n > 5n + 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの不等式を数学的帰納法を用いて証明する問題です。

(1) $n$ が自然数のとき、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 < \frac{(n+1)^3}{3}$

(2) $n$ が3以上の自然数のとき、$3^n > 5n + 1$

2. 解き方の手順

(1) $n$ が自然数のとき、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 < \frac{(n+1)^3}{3}$ の証明

ステップ1: $n=1$ のとき

左辺は $1^2 = 1$

右辺は $\frac{(1+1)^3}{3} = \frac{8}{3}$

$1 < \frac{8}{3}$ なので、$n=1$ のとき不等式は成立します。

ステップ2: $n=k$ のとき不等式が成立すると仮定する。

つまり、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 < \frac{(k+1)^3}{3}$ が成立すると仮定します。

ステップ3: $n=k+1$ のとき不等式が成立することを示す。

$n=k+1$ のとき、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 < \frac{(k+2)^3}{3}$ を示す必要があります。

仮定より、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 < \frac{(k+1)^3}{3}$ なので、両辺に $(k+1)^2$ を加えます。

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 < \frac{(k+1)^3}{3} + (k+1)^2$

右辺を計算すると、

$\frac{(k+1)^3}{3} + (k+1)^2 = \frac{(k+1)^3 + 3(k+1)^2}{3} = \frac{(k+1)^2(k+1+3)}{3} = \frac{(k+1)^2(k+4)}{3}$

$\frac{(k+1)^2(k+4)}{3} < \frac{(k+2)^3}{3}$ を示せば良いことになります。

つまり、$(k+1)^2(k+4) < (k+2)^3$ を示せば良いです。

$(k+1)^2(k+4) = (k^2+2k+1)(k+4) = k^3+6k^2+9k+4$

$(k+2)^3 = k^3+6k^2+12k+8$

$k^3+6k^2+9k+4 < k^3+6k^2+12k+8$ を示せば良く、

$0 < 3k+4$ となり、$k$ が自然数であることから、これは常に成立します。

したがって、$n=k+1$ のときも不等式は成立します。

ステップ4: 結論

数学的帰納法により、$n$ が自然数のとき、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 < \frac{(n+1)^3}{3}$ は成立します。

(2) $n$ が3以上の自然数のとき、$3^n > 5n + 1$ の証明

ステップ1: $n=3$ のとき

左辺は $3^3 = 27$

右辺は $5(3) + 1 = 16$

$27 > 16$ なので、$n=3$ のとき不等式は成立します。

ステップ2: $n=k$ のとき不等式が成立すると仮定する。

つまり、$3^k > 5k + 1$ が成立すると仮定します。

ステップ3: $n=k+1$ のとき不等式が成立することを示す。

$n=k+1$ のとき、$3^{k+1} > 5(k+1) + 1$ を示す必要があります。

つまり、$3^{k+1} > 5k + 6$ を示します。

仮定より、$3^k > 5k + 1$ なので、両辺に3をかけます。

$3^{k+1} > 3(5k + 1) = 15k + 3$

$15k + 3 > 5k + 6$ を示せば良いことになります。

$10k > 3$

$k > \frac{3}{10}$

$k$ は3以上の自然数なので、これは常に成立します。

したがって、$n=k+1$ のときも不等式は成立します。

ステップ4: 結論

数学的帰納法により、$n$ が3以上の自然数のとき、$3^n > 5n + 1$ は成立します。

3. 最終的な答え

(1) $n$ が自然数のとき、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 < \frac{(n+1)^3}{3}$ は数学的帰納法によって証明されました。

(2) $n$ が3以上の自然数のとき、$3^n > 5n + 1$ は数学的帰納法によって証明されました。