与えられた数の分母を有理化する問題です。与えられた数は $\frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数の分母を有理化する問題です。与えられた数は $\frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}$ とみて、$(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{(1 - \sqrt{2}) + \sqrt{3}} \times \frac{(1 - \sqrt{2}) - \sqrt{3}}{(1 - \sqrt{2}) - \sqrt{3}}$

$= \frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 - 2\sqrt{2} + 2) - 3} = \frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}{3 - 2\sqrt{2} - 3} = \frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}{-2\sqrt{2}}$

次に、分母を $-2\sqrt{2}$ とみて、$\sqrt{2}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}{-2\sqrt{2}} = \frac{(1 - \sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{-2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 2 - \sqrt{6}}{-4} = \frac{-(\sqrt{2} - 2 - \sqrt{6})}{-(-4)} = \frac{-\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{4} = \frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$