与えられた2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解のうち、大きい方を $\alpha$ とする。$\alpha$ の値を求め、$\alpha$ が方程式の解であることから導かれる式を求め、さらに $A = \alpha^3 - \alpha^2 + \alpha - 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解のうち、大きい方を $\alpha$ とする。$\alpha$ の値を求め、$\alpha$ が方程式の解であることから導かれる式を求め、さらに $A = \alpha^3 - \alpha^2 + \alpha - 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\alpha$ は大きい方の解なので、$\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

よって、ア=3, イ=5, ウ=2

(2) $\alpha$ は $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解なので、$\alpha^2 - 3\alpha + 1 = 0$ が成り立つ。

したがって、$\alpha^2 = 3\alpha - 1$

よって、エ=3, オ=1

(3) $A = \alpha^3 - \alpha^2 + \alpha - 1$ に $\alpha^2 = 3\alpha - 1$ を代入して次数を下げる。

$A = \alpha (\alpha^2) - \alpha^2 + \alpha - 1 = \alpha (3\alpha - 1) - (3\alpha - 1) + \alpha - 1$

$A = 3\alpha^2 - \alpha - 3\alpha + 1 + \alpha - 1 = 3\alpha^2 - 3\alpha$

$A = 3(3\alpha - 1) - 3\alpha = 9\alpha - 3 - 3\alpha = 6\alpha - 3$

$\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ を代入する。

$A = 6(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) - 3 = 3(3 + \sqrt{5}) - 3 = 9 + 3\sqrt{5} - 3 = 6 + 3\sqrt{5}$

よって、カ=6, キ=3, ク=5

3. 最終的な答え

ア=3, イ=5, ウ=2

エ=3, オ=1

カ=6, キ=3, ク=5

$\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\alpha^2 = 3\alpha - 1$

$A = 6 + 3\sqrt{5}$