(1) $a, b, c$ の3つの数があり、以下の3つの条件を満たすとき、$a, b, c$ の大小を不等号を用いて表します。 1. $a < 0$ 2. $a + b > 0$ 3. $b + c < 0$ (2) $a, b, c, d$ の4つの数の値は、$\{-2, -1, 0, 1\}$ のいずれかです。以下の3つの条件を同時に満たすとき、$a$ の値を求めます。 1. $a + b + c = 0$ 2. $a \times b \times d > 0$ 3. $b \times d < 0$

## 問題の回答

1. 問題の内容

(1) $a, b, c$ の3つの数があり、以下の3つの条件を満たすとき、$a, b, c$ の大小を不等号を用いて表します。

1. $a < 0$

2. $a + b > 0$

3. $b + c < 0$

(2) $a, b, c, d$ の4つの数の値は、$\{-2, -1, 0, 1\}$ のいずれかです。以下の3つの条件を同時に満たすとき、$a$ の値を求めます。

1. $a + b + c = 0$

2. $a \times b \times d > 0$

3. $b \times d < 0$

2. 解き方の手順

(1)

* 条件1より、$a < 0$ です。

* 条件2より、$a + b > 0$ なので、$b > -a > 0$ となり、$b > 0$ です。

* 条件3より、$b + c < 0$ なので、$c < -b < 0$ となり、$c < 0$ です。

* $b > 0$ かつ $c < 0$ なので、$b > c$ です。

* $a < 0$ かつ $b > 0$ なので、$a < b$ です。

* $a < 0$ かつ $c < 0$ ですが、$a$ と $c$ の大小関係は、$a+b>0$ と $b+c<0$ より、仮に$a = c$ とすると $a+b>0$ より $c+b>0$ となり、$b+c<0$ と矛盾するので、$a = c$とはなりません。また、$a+b>0$ より、$b>-a$、$b+c<0$ より、$c<-b$。

$a + b > 0$ より $b > -a$、$b + c < 0$ より $c < -b$。

$c < -b < a$ はありえないので、$c < a$ かつ $a < c$ のいずれかです。

$a$と$c$ の具体的な値で確かめます。例えば、$a=-1, b=2, c=-3$ を仮定すると、条件を満たしますが、$c < a$ となります。

$a=-5,b=7, c=-8$などの組み合わせでも確認できます。

$a+b>0$ より $a > -b$

$b+c<0$ より $c<-b$

したがって、$c<-b<a$とはならず、$c<a>$ である。

(2)

* 条件2より、$a \times b \times d > 0$ なので、$a, b, d$ はすべて正、または、正が1つで負が2つです。

* 条件3より、$b \times d < 0$ なので、$b$ と $d$ は異符号です。

* 条件2と条件3より、$a$ は正で、$b$ と $d$ は異符号であることが必要です。候補としては、$a = 1$, $b = -1, d = 1$または、$a=1$,$b=1,d=-1$

$a+b+c=0$より、$a+b+c = 1 + (-1) + c = 0$ または $a+b+c = 1 + (1) + c = 0$

$c = 0$ または $c=-2$。$c$は$\{-2,-1,0,1\}$のいずれかだから、$c=-2$または$c=0$はありえます。

* $a = 1$, $b = -1$と仮定して、$a + b + c = 0$に代入すると、$1 + (-1) + c = 0$ より、$c = 0$。

* $a = 1$, $b = 1$と仮定して、$a + b + c = 0$に代入すると、$1 + 1 + c = 0$ より、$c = -2$。

* 条件2より、$a \times b \times d > 0$なので、$1 \times (-1) \times d > 0$ より、$d < 0$ なので、$d = -1$ または $d = -2$。しかし、$d$ は $\{-2, -1, 0, 1\}$ の要素なので、$d = -1$。

* 条件2より、$a \times b \times d > 0$なので、$1 \times (1) \times d > 0$ より、$d > 0$ なので、$d = 1$。

$a = 1, b=-1, c = 0, d = -1$の時、$a+b+c = 1-1+0 = 0$、$a*b*d=1*(-1)*(-1) = 1>0$、$b*d=(-1)*(-1)=1>0$ 条件3に反する

$a = 1, b=1, c = -2, d = 1$の時、$a+b+c = 1+1-2 = 0$、$a*b*d=1*(1)*(1) = 1>0$、$b*d=(1)*(1)=1>0$ 条件3に反する

$a+b+c=0$より、$a = -b-c$。$a = 1$, $b = -1$, $c = 0$の場合、$a = -b-c=1$を満たす。$d = -1$の場合、条件3より、$b\times d=2\times d$ は負である必要がある。しかし、$b\times d=2$ に反する。

$a, b, c, d$は、$\{-2,-1,0,1\}$ しか取れないことに注意すると、$a = -b-c$を満たし、$a \times b \times d > 0$かつ$b \times d < 0$となるような組み合わせを見つけるのは難しい。

$b$と$d$の符号が異なる必要があるため、$a \times b \times d > 0$が成り立つためには、aが正の値を取る必要がある。

条件1より、$a+b+c=0$なので、$a=1$として、$b=-1, c=0$の場合、$a=1$は条件を満たす。すると$b \times d<0$を満たすためには$d$は正の値を取ってはいけない。

条件より，$a, b, c, d$の値は$\{ -2, -1, 0, 1\}$なので、組み合わせは限られる。

$b \times d < 0$より、$b$と$d$は異符号。

$a \times b \times d > 0$より、$a \times (-1) > 0$なので、$a < 0$または$a \times (1) > 0$なので、$a > 0$

$a \times b \times d$が正なので、$a, b, d$はすべて正、または、正が1つで負が2つ。$b \times d$が負なので、$b, d$は異符号。よって、$a$は正。候補としては $a=1$

$b=-1, c=0$として、$1+(-1)+0=0$を満たす。$d=1$とすると、$a\times b\times d =1 \times -1\times 1 =-1$, これは、$a\times b\times d >0$に反する。

$b=1, c=-2$として、$1+(1)+(-2)=0$を満たす。$d=-1$とすると、$a\times b\times d =1\times 1\times -1 =-1$, これは、$a\times b\times d >0$に反する。

答えは存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $c < a < b$

(2) $a$ の値は存在しない。