次の2つの数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 2^{n-1} \ (n = 1, 2, 3, \dots)$ (2) $a_1 = 1, 3a_{n+1} = 2a_n + 3 \ (n = 1, 2, 3, \dots)$

1. 問題の内容

次の2つの数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 2^{n-1} \ (n = 1, 2, 3, \dots)$

(2) $a_1 = 1, 3a_{n+1} = 2a_n + 3 \ (n = 1, 2, 3, \dots)$

2. 解き方の手順

(1)

階差数列の公式を用いて解きます。

$a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $b_n = a_{n+1} - a_n = 2^{n-1}$ です。

$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 3 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^k$$

等比数列の和の公式より、

$$a_n = 3 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 3 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 2$$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 2 = 1 + 2 = 3$ なので、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

(2)

漸化式を変形して解きます。

$3a_{n+1} = 2a_n + 3$ を $a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n + 1$ と変形します。

さらに、 $a_{n+1} - \alpha = \frac{2}{3}(a_n - \alpha)$ となるように $\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n - \frac{2}{3}\alpha + \alpha = \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3}\alpha$ となり、これが $a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n + 1$ と一致するので、$\frac{1}{3}\alpha = 1$ より $\alpha = 3$ です。

したがって、$a_{n+1} - 3 = \frac{2}{3}(a_n - 3)$ となります。

数列 $\{a_n - 3\}$ は、初項 $a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列です。

よって、$a_n - 3 = -2 (\frac{2}{3})^{n-1}$ なので、$a_n = -2 (\frac{2}{3})^{n-1} + 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n-1} + 2$

(2) $a_n = -2 (\frac{2}{3})^{n-1} + 3$