連立不等式 $ \begin{cases} 7x - 5 > 13 - 2x \\ x + a \ge 3x + 5 \end{cases} $ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$$

\begin{cases}

7x - 5 > 13 - 2x \\

x + a \ge 3x + 5

\end{cases}

$$

を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

一つ目の不等式:

$7x - 5 > 13 - 2x$

$9x > 18$

$x > 2$

二つ目の不等式:

$x + a \ge 3x + 5$

$-2x \ge 5 - a$

$2x \le a - 5$

$x \le \frac{a - 5}{2}$

したがって、連立不等式の解は $2 < x \le \frac{a-5}{2}$。

この範囲に整数 $x$ がちょうど5個存在するため、$x = 3, 4, 5, 6, 7$ が含まれ、かつ $x = 8$ は含まれない。

したがって、

$7 \le \frac{a-5}{2} < 8$

$14 \le a - 5 < 16$

$19 \le a < 21$

3. 最終的な答え

$19 \le a < 21$