問題は、2つの文字を入れ替えても元の式と同じになる多項式（対称式）を選択し、 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1}$、$y = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1}$ のとき、選択した対称式の値を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、2つの文字を入れ替えても元の式と同じになる多項式（対称式）を選択し、 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1}$、$y = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1}$ のとき、選択した対称式の値を求めるものです。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を簡略化します。

$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x+y = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$　および　$xy = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

対称式の例：

1. $x+y$ (基本対称式)

2. $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3^2 - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7$

3. $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 3^3 - 3 \cdot 1 \cdot 3 = 27 - 9 = 18$

4. $xy$ (基本対称式)

対称式であるものを選択し、その値を計算します。

3. 最終的な答え

問題文に対象式の候補が示されていないため、一般的な対称式とその値を示すことしかできません。

$x+y = 3$

$xy = 1$

$x^2+y^2 = 7$

$x^3+y^3 = 18$