$x = 3 + \sqrt{5}$、 $y = 3 - \sqrt{5}$ のとき、$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = 3 + \sqrt{5}$、 $y = 3 - \sqrt{5}$ のとき、$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x}{y}$ と $\frac{y}{x}$ をそれぞれ計算し、その後で足し合わせます。

$\frac{x}{y} = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $3 + \sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{x}{y} = \frac{(3 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{(3 + \sqrt{5})^2}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

次に、$\frac{y}{x}$ を計算します。

$\frac{y}{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $3 - \sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{y}{x} = \frac{(3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{(3 - \sqrt{5})^2}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

最後に、$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を計算します。

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7 + 3\sqrt{5} + 7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

3. 最終的な答え

7