画像にある数学の問題は、以下の3つのカテゴリに分かれています。 * **[6]**：与えられた二次関数を平方完成の形（$y = a(x-p)^2 + q$）に変形し、空欄を埋める問題です。 * **[7]**：与えられた二次関数（$y = -x^2 - 8x + 1$）のグラフの軸と頂点を求め、グラフを描く問題です（グラフは手書き）。頂点と他の2点の座標を明記する必要があります。 * **[8]**：二次関数のグラフの平行移動に関する問題です。$y = 7(x- \text{ア})^2 + \text{イ}$ のグラフを x 軸方向に 3、y 軸方向に 4 だけ平行移動させると、$y = 2(x - 4)^2 + 7$ のグラフに重なる時、$y = 7(x- \text{ア})^2 + \text{イ}$ の$\text{ア}$と$\text{イ}$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題は、以下の3つのカテゴリに分かれています。

* **[6]**：与えられた二次関数を平方完成の形（$y = a(x-p)^2 + q$）に変形し、空欄を埋める問題です。

* **[7]**：与えられた二次関数（$y = -x^2 - 8x + 1$）のグラフの軸と頂点を求め、グラフを描く問題です（グラフは手書き）。頂点と他の2点の座標を明記する必要があります。

* **[8]**：二次関数のグラフの平行移動に関する問題です。$y = 7(x- \text{ア})^2 + \text{イ}$ のグラフを x 軸方向に 3、y 軸方向に 4 だけ平行移動させると、$y = 2(x - 4)^2 + 7$ のグラフに重なる時、$y = 7(x- \text{ア})^2 + \text{イ}$ の$\text{ア}$と$\text{イ}$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

**[6]**

(1) $y = x^2 - 2x$

$y = x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x$

$y = (x - 1)^2 - 1^2$

$y = (x - 1)^2 - 1$

(2) $y = x^2 + 4x + 1$

$y = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 1$

$y = (x + 2)^2 - 2^2 + 1$

$y = (x + 2)^2 - 4 + 1$

$y = (x + 2)^2 - 3$

(3) $y = 2x^2 + 8x$

$y = 2(x^2 + 4x)$

$y = 2(x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x)$

$y = 2\{(x + 2)^2 - 2^2\}$

$y = 2(x + 2)^2 - 2 \cdot 4$

$y = 2(x + 2)^2 - 8$

(4) $y = -x^2 + 8x + 2$

$y = -(x^2 - 8x) + 2$

$y = -\{(x - 4)^2 - 4^2\} + 2$

$y = -(x - 4)^2 + 16 + 2$

$y = -(x - 4)^2 + 18$

**[7]**

$y = -x^2 - 8x + 1$

$y = -(x^2 + 8x) + 1$

$y = -\{(x + 4)^2 - 4^2\} + 1$

$y = -(x + 4)^2 + 16 + 1$

$y = -(x + 4)^2 + 17$

軸：直線 $x = -4$

頂点：$(-4, 17)$

**[8]**

グラフをx軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動させるということは、

$x$を$x-3$、$y$を$y-4$に置き換えるということです。

$y = 7(x - \text{ア})^2 + \text{イ}$ を平行移動させると、$y - 4 = 7(x - 3 - \text{ア})^2 + \text{イ}$となり、$y = 7(x - 3 - \text{ア})^2 + \text{イ} + 4$となります。

これが $y = 2(x - 4)^2 + 7$ と重なるので、係数が一致する必要があります。

しかし、係数が7と2で一致しないので、問題文が間違っているか、または解釈が違う可能性があります。

もし問題文が、$y = a(x-p)^2 + q$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動させると、$y = 2(x - 4)^2 + 7$のグラフに重なる時、$a, p, q$の値を求める、ということであれば、

平行移動後の式は、$y = a(x - 3 - p)^2 + q + 4$

これが $y = 2(x - 4)^2 + 7$ と一致するので、

$a = 2$

$3 + p = 4$ より $p = 1$

$q + 4 = 7$ より $q = 3$

元の関数は、$y = 2(x - 1)^2 + 3$となります。

3. 最終的な答え

**[6]**

(1) $y = (x - 1)^2 - 1$

(2) $y = (x + 2)^2 - 3$

(3) $y = 2(x + 2)^2 - 8$

(4) $y = -(x - 4)^2 + 18$

**[7]**

軸：直線 $x = -4$

頂点：$(-4, 17)$

**[8]**

問題文が誤りの可能性があるため、仮に問題文を修正した場合：

元の関数は、$y = 2(x - 1)^2 + 3$となります。