関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 + 1$ が $-4 \leq x \leq 1$ の範囲で最大値7をとる時、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 + 1$ が $-4 \leq x \leq 1$ の範囲で最大値7をとる時、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = a(x^2 + 4x) + a^2 + 1 = a(x^2 + 4x + 4 - 4) + a^2 + 1 = a(x+2)^2 - 4a + a^2 + 1$

軸は $x = -2$ です。定義域 $-4 \leq x \leq 1$ に軸が含まれています。

(i) $a > 0$ のとき、下に凸の放物線になります。最大値は $x=1$ のときに取ります。

$f(1) = a(1)^2 + 4a(1) + a^2 + 1 = a + 4a + a^2 + 1 = a^2 + 5a + 1 = 7$

$a^2 + 5a - 6 = 0$

$(a+6)(a-1) = 0$

$a = -6$ または $a = 1$

$a > 0$ より $a = 1$

(ii) $a < 0$ のとき、上に凸の放物線になります。最大値は頂点で取ります。

$f(-2) = a(-2+2)^2 - 4a + a^2 + 1 = a^2 - 4a + 1 = 7$

$a^2 - 4a - 6 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

$a < 0$ より $a = 2 - \sqrt{10}$

(iii) $a = 0$ のとき、$f(x) = 1$ となり、最大値が7になることはありません。

3. 最終的な答え

$a = 1, 2-\sqrt{10}$