次の和 $S$ を求めます。 $S = \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \cdots + \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \cdots + \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$

2. 解き方の手順

この和は部分分数分解を用いて解くことができます。

一般項 $\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{A}{4k-1} + \frac{B}{4k+3}$

両辺に $(4k-1)(4k+3)$ をかけると、

$1 = A(4k+3) + B(4k-1)$

$1 = (4A+4B)k + (3A-B)$

この式が任意の $k$ について成り立つためには、

$4A+4B = 0$

$3A-B = 1$

1つ目の式から $A = -B$ が得られます。

これを2つ目の式に代入すると、

$3A - (-A) = 1$

$4A = 1$

$A = \frac{1}{4}$

したがって、 $B = -\frac{1}{4}$

よって、

$\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

したがって、$S$ は、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

$S = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{15} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right) \right]$

この和はtelescoping sumなので、多くの項が打ち消しあって、

$S = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$

$S = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+3 - 3}{3(4n+3)} \right)$

$S = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{3(4n+3)} \right)$

$S = \frac{n}{3(4n+3)}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{12n+9}$