問題83の(1)から(4)と、例題15を解きます。 問題83は、絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。 例題15は、$|x| + |x-4| = 6$を解く問題です。

1. 問題の内容

問題83の(1)から(4)と、例題15を解きます。

問題83は、絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。

例題15は、$|x| + |x-4| = 6$を解く問題です。

2. 解き方の手順

問題83

(1) $|x-3| = 4x$

場合分け:

$x \ge 3$ のとき、$x-3=4x$ となり、$3x = -3$ より $x = -1$ となるが、$x \ge 3$ に矛盾するため、解なし。

$x < 3$ のとき、$-(x-3) = 4x$ となり、$-x+3=4x$ より、$5x = 3$ なので、$x = \frac{3}{5}$。これは $x < 3$ を満たす。

(2) $|2x-1| = 3x-4$

場合分け:

$x \ge \frac{1}{2}$ のとき、$2x-1=3x-4$ となり、$x = 3$。これは $x \ge \frac{1}{2}$ を満たす。

$x < \frac{1}{2}$ のとき、$-(2x-1) = 3x-4$ となり、$-2x+1 = 3x-4$ より、$5x = 5$ なので、$x = 1$。これは $x < \frac{1}{2}$ を満たさないので、解なし。

(3) $|x-1| \ge -2x$

場合分け:

$x \ge 1$ のとき、$x-1 \ge -2x$ となり、$3x \ge 1$ より、$x \ge \frac{1}{3}$。$x \ge 1$ と $x \ge \frac{1}{3}$ の共通範囲は $x \ge 1$。

$x < 1$ のとき、$-(x-1) \ge -2x$ となり、$-x+1 \ge -2x$ より、$x \ge -1$。$x < 1$ と $x \ge -1$ の共通範囲は $-1 \le x < 1$。

したがって、$x \ge 1$ または $-1 \le x < 1$。よって、$x \ge -1$。

(4) $|3x+2| < 2-x$

$-2+x < 3x+2 < 2-x$

$-2+x < 3x+2$ より、$-4 < 2x$ なので $x > -2$

$3x+2 < 2-x$ より、$4x < 0$ なので $x < 0$

したがって、$-2 < x < 0$。

例題15

$|x| + |x-4| = 6$

場合分け:

$x < 0$ のとき、$-x - (x-4) = 6$ となり、$-2x + 4 = 6$ より、$-2x = 2$ なので $x = -1$。これは $x < 0$ を満たす。

$0 \le x < 4$ のとき、$x - (x-4) = 6$ となり、$4 = 6$ となるので不適。解なし。

$x \ge 4$ のとき、$x + (x-4) = 6$ となり、$2x - 4 = 6$ より、$2x = 10$ なので、$x = 5$。これは $x \ge 4$ を満たす。

3. 最終的な答え

問題83

(1) $x = \frac{3}{5}$

(2) $x = 3$

(3) $x \ge -1$

(4) $-2 < x < 0$

例題15

$x = -1, 5$