$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ , $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ , $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

次に、$x^2$ と $y^2$ をそれぞれ計算します。

$x^2 = \left(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{4} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{4} = 2 - \frac{\sqrt{15}}{2}$

$y^2 = \left(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{4} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{4} = 2 + \frac{\sqrt{15}}{2}$

最後に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = \left(2 - \frac{\sqrt{15}}{2}\right) + \left(2 + \frac{\sqrt{15}}{2}\right) = 2 - \frac{\sqrt{15}}{2} + 2 + \frac{\sqrt{15}}{2} = 4$

3. 最終的な答え

4