(1) 放物線 $y = -3x^2 + x - 1$ を平行移動した曲線で、頂点が点 $(-2, 3)$ である放物線の方程式を求める。 (2) 放物線 $y = x^2 - 3x$ を平行移動した曲線で、2点 $(2, 1), (4, 5)$ を通る放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = -3x^2 + x - 1$ を平行移動した曲線で、頂点が点 $(-2, 3)$ である放物線の方程式を求める。

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x$ を平行移動した曲線で、2点 $(2, 1), (4, 5)$ を通る放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動後の放物線は $y = -3(x+2)^2 + 3$ と表せる。

理由：

$y = -3x^2 + x - 1$ を平行移動した曲線なので、$x^2$ の係数は $-3$ である。

頂点が $(-2, 3)$ であるので、放物線の方程式は $y = -3(x+2)^2 + 3$ と表せる。

展開して、一般形に変形すると、

$y = -3(x^2 + 4x + 4) + 3 = -3x^2 - 12x - 12 + 3 = -3x^2 - 12x - 9$.

(2) 平行移動後の放物線を $y = x^2 - 3x + c$ とおく。

この放物線が点 $(2, 1)$ を通るので、

$1 = 2^2 - 3(2) + c = 4 - 6 + c = -2 + c$.

よって $c = 3$.

この放物線が点 $(4, 5)$ を通るので、

$5 = 4^2 - 3(4) + c = 16 - 12 + c = 4 + c$.

よって $c = 1$.

矛盾が生じたので、$x^2$ の係数が1とは限らない。

$y = x^2 - 3x$ を平行移動した後の放物線を $y = x^2 + ax + b$ とおく。

$(2, 1)$ を通るので、

$1 = 2^2 + 2a + b = 4 + 2a + b$.

$2a + b = -3$ ... (1)

$(4, 5)$ を通るので、

$5 = 4^2 + 4a + b = 16 + 4a + b$.

$4a + b = -11$ ... (2)

(2) - (1) より、

$2a = -8$.

$a = -4$.

(1) に代入して、

$2(-4) + b = -3$.

$-8 + b = -3$.

$b = 5$.

よって、求める放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 5$.

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x^2 - 12x - 9$

(2) $y = x^2 - 4x + 5$