数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ を求める問題です。

## 問題9 (1)

1. 問題の内容

数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は初項1、公比2の等比数列の和であるため、等比数列の和の公式を用います。

等比数列の和の公式は以下の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数を表します。

この問題では、$a=1$, $r=2$なので、公式に代入すると、

$S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2-1}$

$S_n = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

$2^n - 1$

## 問題9 (2)

1. 問題の内容

数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (-3)^{k-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は初項1、公比-3の等比数列の和であるため、等比数列の和の公式を用います。

等比数列の和の公式は以下の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数を表します。

この問題では、$a=1$, $r=-3$なので、公式に代入すると、

$S_n = \frac{1((-3)^n - 1)}{-3-1}$

$S_n = \frac{(-3)^n - 1}{-4}$

$S_n = \frac{1 - (-3)^n}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1 - (-3)^n}{4}$

## 問題10 (1)

1. 問題の内容

数列 1, 2, 5, 10, 17, ... の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

階差数列を考えます。

数列の差を取ると、1, 3, 5, 7, ... となります。

これは初項1、公差2の等差数列なので、一般項は $2n-1$ となります。

元の数列の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)$

$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)$

$a_n = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 1 + n(n-1) - (n-1)$

$a_n = 1 + n^2 - n - n + 1$

$a_n = n^2 - 2n + 2$

$a_n = n^2 - n - n + 1 + 1$

$a_n = (n-1)^2 + n$

確認：

$n=1$のとき、$a_1 = 1^2-2*1+2=1$

$n=2$のとき、$a_2 = 2^2-2*2+2=2$

$n=3$のとき、$a_3 = 3^2-2*3+2=5$

$n=4$のとき、$a_4 = 4^2-2*4+2=10$

$n=5$のとき、$a_5 = 5^2-2*5+2=17$

別の解法：

数列をみると、$n^2$に近いことがわかる。

$n=1$のとき、$1^2=1$

$n=2$のとき、$2^2=4$

$n=3$のとき、$3^2=9$

$n=4$のとき、$4^2=16$

$n=5$のとき、$5^2=25$

それぞれとの差は、

0, 2, 4, 6, 8, ...

これは、$2(n-1)$ なので

$a_n = n^2 -2(n-1) = n^2 -2n + 2$

3. 最終的な答え

$n^2 - 2n + 2$

あるいは

$(n-1)^2 + 1$

あるいは

$n^2 -2n + 2$