与えられた数式の値を計算します。数式は次の通りです。 $log_2(3\sqrt{6}) - \frac{1}{3}log_2(2)$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は次の通りです。

$log_2(3\sqrt{6}) - \frac{1}{3}log_2(2)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた数式を整理します。

$log_2(3\sqrt{6}) - \frac{1}{3}log_2(2)$

$\sqrt{6}$ は $6^{1/2}$ と書けるので、 $3\sqrt{6} = 3 \times 6^{1/2} = 3 \times (2 \times 3)^{1/2} = 3 \times 2^{1/2} \times 3^{1/2} = 3^{3/2} \times 2^{1/2}$ となります。

また、$log_2(2) = 1$ なので、$\frac{1}{3}log_2(2) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$ となります。

したがって、数式は次のようになります。

$log_2(3^{3/2} \times 2^{1/2}) - \frac{1}{3}$

対数の性質 $log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)$ を使うと、

$log_2(3^{3/2} \times 2^{1/2}) = log_2(3^{3/2}) + log_2(2^{1/2})$

対数の性質 $log_a(x^k) = k \times log_a(x)$ を使うと、

$log_2(3^{3/2}) = \frac{3}{2}log_2(3)$

$log_2(2^{1/2}) = \frac{1}{2}log_2(2) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

したがって、数式は次のようになります。

$\frac{3}{2}log_2(3) + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

したがって、数式は次のようになります。

$\frac{3}{2}log_2(3) + \frac{1}{6}$

ここで、$log_2(3)$ の近似値を求めます。$log_2(3) \approx 1.585$

$\frac{3}{2} \times 1.585 + \frac{1}{6} = 2.3775 + 0.1667 \approx 2.5442$

正確な値を求めます。

$log_2(3^{3/2} \times 2^{1/2}) - \frac{1}{3}$

$= log_2(3^{3/2}) + log_2(2^{1/2}) - \frac{1}{3}$

$= \frac{3}{2} log_2(3) + \frac{1}{2} log_2(2) - \frac{1}{3}$

$= \frac{3}{2} log_2(3) + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$= \frac{3}{2} log_2(3) + \frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

$= \frac{3}{2} log_2(3) + \frac{1}{6}$

元の式は $log_2(3\sqrt{6}) - \frac{1}{3}log_2(2)$ でした。

$log_2(2) = 1$ なので、 $\frac{1}{3}log_2(2) = \frac{1}{3}$

$log_2(3\sqrt{6}) = log_2(3 \cdot 6^{1/2}) = log_2(3) + log_2(6^{1/2}) = log_2(3) + \frac{1}{2} log_2(6) = log_2(3) + \frac{1}{2}(log_2(2) + log_2(3)) = log_2(3) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}log_2(3) = \frac{3}{2}log_2(3) + \frac{1}{2}$

$\frac{3}{2}log_2(3) + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2}log_2(3) + \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}log_2(3) + \frac{1}{6}$