数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 3$、$(n+1)a_{n+1} = a_n^2 - 1$によって定義されています。この数列の一般項$a_n$を推測し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明してください。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 3$、$(n+1)a_{n+1} = a_n^2 - 1$によって定義されています。この数列の一般項$a_n$を推測し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明してください。

2. 解き方の手順

(1) 一般項の推測

まず、数列の最初のいくつかの項を計算して、一般項を推測します。

$a_1 = 3$

$(1+1)a_2 = a_1^2 - 1 = 3^2 - 1 = 8$より、$a_2 = \frac{8}{2} = 4$

$(2+1)a_3 = a_2^2 - 1 = 4^2 - 1 = 15$より、$a_3 = \frac{15}{3} = 5$

$(3+1)a_4 = a_3^2 - 1 = 5^2 - 1 = 24$より、$a_4 = \frac{24}{4} = 6$

これらの結果から、$a_n = n+2$と推測できます。

(2) 数学的帰納法による証明

$a_n = n+2$が正しいことを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$のとき

$a_1 = 1+2 = 3$となり、与えられた条件を満たします。

(ii) $n=k$のとき、$a_k = k+2$が成り立つと仮定します。

このとき、$n=k+1$のとき、$a_{k+1} = (k+1)+2 = k+3$が成り立つことを示す必要があります。

漸化式より、

$(k+1)a_{k+1} = a_k^2 - 1$

$a_k = k+2$を代入すると、

$(k+1)a_{k+1} = (k+2)^2 - 1 = k^2 + 4k + 4 - 1 = k^2 + 4k + 3 = (k+1)(k+3)$

両辺を$k+1$で割ると、

$a_{k+1} = k+3$

したがって、$n=k+1$のときも$a_{k+1} = (k+1)+2 = k+3$が成り立ちます。

(i)(ii)より、すべての自然数$n$に対して、$a_n = n+2$が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

$a_n = n+2$