2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ において、$t-1 \le x \le t$ の範囲での最小値を $m$、最大値を $M$ とする。 (1) $m$ を求めよ。 (2) $M$ を求めよ。 (3) $M - m = 3$ となる $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ において、$t-1 \le x \le t$ の範囲での最小値を $m$、最大値を $M$ とする。

(1) $m$ を求めよ。

(2) $M$ を求めよ。

(3) $M - m = 3$ となる $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1$

このグラフは、頂点が $(1, 1)$ の下に凸な放物線である。

(1) 最小値 $m$ について

区間 $t-1 \le x \le t$ における最小値を考える。

* $t \le 1$ のとき、$x=t$ で最小値 $m = (t-1)^2 + 1 = t^2 - 2t + 2$

* $t - 1 \ge 1$ つまり $t \ge 2$ のとき、$x = t-1$ で最小値 $m = (t-1-1)^2 + 1 = (t-2)^2 + 1 = t^2 - 4t + 5$

* $t-1 < 1 < t$ つまり $1 < t < 2$ のとき、$x = 1$ で最小値 $m = 1$

以上をまとめると、

$m = \begin{cases} t^2 - 2t + 2 & (t \le 1) \\ 1 & (1 < t < 2) \\ t^2 - 4t + 5 & (t \ge 2) \end{cases}$

(2) 最大値 $M$ について

区間 $t-1 \le x \le t$ の幅は1である。軸 $x=1$ から遠い方の端点で最大値を取る。

$|(t-1) - 1| > |t - 1|$ すなわち $|t-2| > |t-1|$ ならば $x=t-1$ で最大値を取る。

$|(t-1) - 1| < |t - 1|$ すなわち $|t-2| < |t-1|$ ならば $x=t$ で最大値を取る。

$|t-2| = |t-1|$ ならば、$t-2=-(t-1)$ より、$t=3/2$となり、$t-1$でも$t$でも最大値を取る。

$|t-2| > |t-1|$ は $t < 3/2$ の時成り立ち、$|t-2| < |t-1|$ は $t>3/2$ の時成り立つ。

* $t < \frac{3}{2}$ のとき、 $x = t-1$ で最大値 $M = (t-1-1)^2 + 1 = (t-2)^2 + 1 = t^2 - 4t + 5$

* $t > \frac{3}{2}$ のとき、 $x = t$ で最大値 $M = (t-1)^2 + 1 = t^2 - 2t + 2$

* $t = \frac{3}{2}$ のとき、$M = (1/2)^2+1 = 5/4$ or $M = (-1/2)^2+1 = 5/4$

以上をまとめると、

$M = \begin{cases} t^2 - 4t + 5 & (t < \frac{3}{2}) \\ t^2 - 2t + 2 & (t \ge \frac{3}{2}) \end{cases}$

(3) $M - m = 3$ となる $t$ の値を求める。

(i) $t \le 1$ のとき、$M = t^2 - 4t + 5$、$m = t^2 - 2t + 2$。

$M - m = (t^2 - 4t + 5) - (t^2 - 2t + 2) = -2t + 3 = 3$

$-2t = 0$

$t = 0$ (これは $t \le 1$ を満たす)

(ii) $1 < t < \frac{3}{2}$ のとき、$M = t^2 - 4t + 5$、$m = 1$。

$M - m = t^2 - 4t + 5 - 1 = t^2 - 4t + 4 = (t - 2)^2 = 3$

$t - 2 = \pm \sqrt{3}$

$t = 2 \pm \sqrt{3}$

$1 < t < \frac{3}{2}$ より、$t = 2 - \sqrt{3}$

$2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268$。これは$1 < t < \frac{3}{2}$を満たさない。

(iii) $\frac{3}{2} \le t < 2$ のとき、$M = t^2 - 2t + 2$、$m = 1$。

$M - m = t^2 - 2t + 2 - 1 = t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2 = 3$

$t - 1 = \pm \sqrt{3}$

$t = 1 \pm \sqrt{3}$

$\frac{3}{2} \le t < 2$ より、$t=1 + \sqrt{3} > 2$ なので不適。

(iv) $t \ge 2$ のとき、$M = t^2 - 2t + 2$、$m = t^2 - 4t + 5$。

$M - m = (t^2 - 2t + 2) - (t^2 - 4t + 5) = 2t - 3 = 3$

$2t = 6$

$t = 3$ (これは $t \ge 2$ を満たす)

3. 最終的な答え

$m = \begin{cases} t^2 - 2t + 2 & (t \le 1) \\ 1 & (1 < t < 2) \\ t^2 - 4t + 5 & (t \ge 2) \end{cases}$

$M = \begin{cases} t^2 - 4t + 5 & (t < \frac{3}{2}) \\ t^2 - 2t + 2 & (t \ge \frac{3}{2}) \end{cases}$

$t = 0, 3$