2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

与えられた2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ において、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha \beta = 4$

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて表す。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

ここで、得られた $\alpha + \beta = -2$ と $\alpha \beta = 4$ を上記の式に代入する。

$\alpha^3 + \beta^3 = (-2)^3 - 3(4)(-2)$

$\alpha^3 + \beta^3 = -8 - (-24)$

$\alpha^3 + \beta^3 = -8 + 24$

$\alpha^3 + \beta^3 = 16$

3. 最終的な答え

$\alpha^3 + \beta^3 = 16$