数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$ かつ漸化式 $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$ かつ漸化式 $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を変形して、$a_{n+1}$ について解きます。

$2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

$2a_{n+1} = a_n - 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n - 1$

これは、$a_{n+1} = p a_n + q$ の形をした漸化式です。特性方程式 $x = \frac{1}{2}x - 1$ を解いて、特殊解 $\alpha$ を求めます。

$x = \frac{1}{2}x - 1$

$\frac{1}{2}x = -1$

$x = -2$

よって、$\alpha = -2$ です。

次に、$a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2} (a_n + 2)$ と変形します。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n$ となります。

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であることを示しています。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$ です。

したがって、$b_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n - 2$ より、$a_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 2$