与えられた4つの2次不等式を解きます。 (1) $x^2 - 2x + 3 < 0$ (2) $2x^2 + 5x + 4 \ge 0$ (3) $-x^2 + 3x - 5 < 0$ (4) $-2x \ge 3x^2 + 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解きます。

(1) $x^2 - 2x + 3 < 0$

(2) $2x^2 + 5x + 4 \ge 0$

(3) $-x^2 + 3x - 5 < 0$

(4) $-2x \ge 3x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2x + 3 < 0$

左辺を平方完成します。

$x^2 - 2x + 1 + 2 < 0$

$(x-1)^2 + 2 < 0$

$(x-1)^2$ は常に0以上なので、$(x-1)^2 + 2$ は常に2以上となります。

したがって、この不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。

(2) $2x^2 + 5x + 4 \ge 0$

判別式 $D$ を計算します。

$D = 5^2 - 4 \times 2 \times 4 = 25 - 32 = -7$

$D < 0$ なので、$2x^2 + 5x + 4$ は常に正の値を取ります。

したがって、この不等式を満たす $x$ はすべての実数です。

(3) $-x^2 + 3x - 5 < 0$

両辺に-1をかけます。

$x^2 - 3x + 5 > 0$

左辺を平方完成します。

$x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 5 > 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4} > 0$

$(x - \frac{3}{2})^2$ は常に0以上なので、$(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}$ は常に$\frac{11}{4}$以上となります。

したがって、この不等式を満たす $x$ はすべての実数です。

(4) $-2x \ge 3x^2 + 1$

移項して整理します。

$3x^2 + 2x + 1 \le 0$

判別式 $D$ を計算します。

$D = 2^2 - 4 \times 3 \times 1 = 4 - 12 = -8$

$D < 0$ であり、$3x^2 + 2x + 1$ の係数は正なので、$3x^2 + 2x + 1$ は常に正の値を取ります。

したがって、$3x^2 + 2x + 1 \le 0$ を満たす実数 $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) すべての実数

(3) すべての実数

(4) 解なし