$k$ を定数とする。直線 $(k+3)x-(2k-1)y-8k-3=0$ は、$k$ の値に関係なく定点 $A$ を通る。この定点 $A$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を定数とする。直線 $(k+3)x-(2k-1)y-8k-3=0$ は、$k$ の値に関係なく定点 $A$ を通る。この定点 $A$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

直線の方程式を $k$ について整理する。

$(k+3)x-(2k-1)y-8k-3=0$ を $k$ について整理すると、

$kx + 3x - 2ky + y - 8k - 3 = 0$

$k(x - 2y - 8) + (3x + y - 3) = 0$

この式が $k$ の値に関係なく成り立つためには、

$x - 2y - 8 = 0$ かつ $3x + y - 3 = 0$

の連立方程式を解けば良い。

$x - 2y = 8$ ...(1)

$3x + y = 3$ ...(2)

(2)より、$y = 3 - 3x$ 。これを(1)に代入する。

$x - 2(3 - 3x) = 8$

$x - 6 + 6x = 8$

$7x = 14$

$x = 2$

$x = 2$ を (2) に代入すると、

$3(2) + y = 3$

$6 + y = 3$

$y = -3$

したがって、求める定点の座標は $(2, -3)$ である。

3. 最終的な答え

(2, -3)