与えられた漸化式によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。問題は4つの小問に分かれています。

1. 問題の内容

与えられた漸化式によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。問題は4つの小問に分かれています。

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 3$

これは$a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$と変形できます。$b_n = a_n + 3$とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$, $b_1 = a_1 + 3 = 2+3 = 5$となります。

したがって、$b_n = 5 \cdot 2^{n-1}$なので、$a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$となります。

(2) $a_1 = 9$, $2a_{n+1} = -a_n + 6$

これは$a_{n+1} = -\frac{1}{2} a_n + 3$と変形できます。$a_{n+1} - 2 = -\frac{1}{2}(a_n - 2)$と変形できます。$b_n = a_n - 2$とおくと、$b_{n+1} = -\frac{1}{2}b_n$, $b_1 = a_1 - 2 = 9-2 = 7$となります。

したがって、$b_n = 7 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$なので、$a_n = 7 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1} + 2$となります。

(3) $a_1 = 5$, $a_{n+1} + a_n = 2$

これは$a_{n+1} = 2 - a_n$と変形できます。

$a_1 = 5$, $a_2 = 2-5 = -3$, $a_3 = 2-(-3) = 5$, $a_4 = 2-5 = -3$, ...

したがって、$a_n = \begin{cases} 5 & (n: \text{奇数}) \\ -3 & (n: \text{偶数}) \end{cases}$となります。

これは$a_n = 1 + 4(-1)^{n-1}$とも書けます。

(4) $a_1 = 4$, $2a_{n+1} = 5a_n + 3$

これは$a_{n+1} = \frac{5}{2} a_n + \frac{3}{2}$と変形できます。$a_{n+1} + 1 = \frac{5}{2}(a_n + 1)$と変形できます。$b_n = a_n + 1$とおくと、$b_{n+1} = \frac{5}{2}b_n$, $b_1 = a_1 + 1 = 4+1 = 5$となります。

したがって、$b_n = 5 \cdot (\frac{5}{2})^{n-1}$なので、$a_n = 5 \cdot (\frac{5}{2})^{n-1} - 1$となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$

(2) $a_n = 7 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1} + 2$

(3) $a_n = \begin{cases} 5 & (n: \text{奇数}) \\ -3 & (n: \text{偶数}) \end{cases}$ または $a_n = 1 + 4(-1)^{n-1}$

(4) $a_n = 5 \cdot (\frac{5}{2})^{n-1} - 1$