数列 $\{a_n\}$ は等比数列であり、$a_3 = 4$, $a_5 = 16$ を満たす。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公比を求める。 (2) $\sum_{k=1}^n a_k$ を求める。 数列 $\{b_n\}$ は $b_1=1$, $b_{n+1} = 3b_n + 2$ を満たす。 (3) $b_{n+1} + \text{カ} = \text{キ} (b_n + \text{カ})$ の形で表せる。 (4) 数列 $\{b_n + \text{カ}\}$ の初項と公比を求める。 (5) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられたとき、$a_n$ を3で割った余りを $c_n$ とし、$d_n = b_n c_n$ とする。 (6) $d_1, d_2, d_3, d_4$ を求める。 (7) $\sum_{k=1}^{2n} d_k$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等比数列であり、$a_3 = 4$, $a_5 = 16$ を満たす。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公比を求める。

(2) $\sum_{k=1}^n a_k$ を求める。

数列 $\{b_n\}$ は $b_1=1$, $b_{n+1} = 3b_n + 2$ を満たす。

(3) $b_{n+1} + \text{カ} = \text{キ} (b_n + \text{カ})$ の形で表せる。

(4) 数列 $\{b_n + \text{カ}\}$ の初項と公比を求める。

(5) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられたとき、$a_n$ を3で割った余りを $c_n$ とし、$d_n = b_n c_n$ とする。

(6) $d_1, d_2, d_3, d_4$ を求める。

(7) $\sum_{k=1}^{2n} d_k$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_3 = a_1 r^2 = 4$ と $a_5 = a_1 r^4 = 16$ が与えられている。

$a_5/a_3 = r^2 = 16/4 = 4$。公比が正の実数なので、$r = 2$。

$a_1 \cdot 2^2 = 4$ より、$a_1 = 1$。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の初項は1、公比は2である。

(2) $\sum_{k=1}^n a_k = \frac{a_1(r^n - 1)}{r-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$。

(3) $b_{n+1} = 3b_n + 2$ より、$b_{n+1} + x = 3(b_n + x)$ となる $x$ を見つける。

$b_{n+1} = 3b_n + 3x - x = 3b_n + 2x$。よって、$2x = 2$ より、$x = 1$。

$b_{n+1} + 1 = 3(b_n + 1)$。

(4) 数列 $\{b_n + 1\}$ の初項は $b_1 + 1 = 1 + 1 = 2$、公比は3。

(5) $b_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1}$。したがって、$b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$。

(6) $a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$。

$c_n$ は $a_n$ を3で割った余りなので、$c_n = a_n \pmod{3}$。

$a_1 = 1$, $c_1 = 1$。$d_1 = b_1 c_1 = 1 \cdot 1 = 1$。

$a_2 = 2$, $c_2 = 2$。$b_2 = 3b_1 + 2 = 3(1) + 2 = 5$。$d_2 = b_2 c_2 = 5 \cdot 2 = 10$。

$a_3 = 4$, $c_3 = 1$。$b_3 = 3b_2 + 2 = 3(5) + 2 = 17$。$d_3 = b_3 c_3 = 17 \cdot 1 = 17$。

$a_4 = 8$, $c_4 = 2$。$b_4 = 3b_3 + 2 = 3(17) + 2 = 53$。$d_4 = b_4 c_4 = 53 \cdot 2 = 106$。

(7) $\sum_{k=1}^{2n} d_k = \sum_{k=1}^{2n} b_k c_k$。

$b_k = 2 \cdot 3^{k-1} - 1$。

$a_k = 2^{k-1}$。$a_k \pmod 3$ は $1, 2, 1, 2, \dots$ と繰り返される。

したがって、$c_k = 1$ (kが奇数のとき) または $c_k = 2$ (kが偶数のとき)。

$\sum_{k=1}^{2n} d_k = \sum_{k=1}^n d_{2k-1} + \sum_{k=1}^n d_{2k} = \sum_{k=1}^n b_{2k-1} + \sum_{k=1}^n 2 b_{2k} = \sum_{k=1}^n (2 \cdot 3^{2k-2} - 1) + \sum_{k=1}^n 2(2 \cdot 3^{2k-1} - 1) = \sum_{k=1}^n (2 \cdot 3^{2k-2} - 1 + 4 \cdot 3^{2k-1} - 2) = \sum_{k=1}^n (2 \cdot 3^{2k-2} + 12 \cdot 3^{2k-2} - 3) = \sum_{k=1}^n (14 \cdot 3^{2k-2} - 3) = 14 \sum_{k=1}^n 9^{k-1} - 3n = 14 \frac{9^n - 1}{9-1} - 3n = 14 \frac{9^n - 1}{8} - 3n = \frac{7}{4} (9^n - 1) - 3n = \frac{7 \cdot 9^n - 7 - 12n}{4}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 2

エ: n

オ: -1

カ: 1

キ: 3

ク: 2

ケ: 2

コ: 3

サ: n-1

シ: -1

ス: 1

セソ: 10

タチ: 17

ツテト: 106

ナ: 7

ヌ: 9

ネ: n

ノ: 7

ハ: 4