$a$を実数の定数とし、関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ ($a \le x \le a+1$)の最小値を$m(a)$とする。 $f(x)$のグラフの頂点、軸の方程式、区間の中央の値を求め、軸と区間の中央の大小で場合分けして$m(a)$を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を実数の定数とし、関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ ($a \le x \le a+1$)の最小値を$m(a)$とする。

$f(x)$のグラフの頂点、軸の方程式、区間の中央の値を求め、軸と区間の中央の大小で場合分けして$m(a)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

よって、頂点は$(1, 2)$、軸は$x = 1$である。

区間$a \le x \le a+1$の中央の値は、$\frac{a + (a+1)}{2} = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2}$

(i) $a + \frac{1}{2} < 1$ すなわち $a < \frac{1}{2}$ のとき、区間は軸の左側にあるため、$x=a+1$で最小値をとる。

$m(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 2(a+1) + 1 = -(a^2 + 2a + 1) + 2a + 2 + 1 = -a^2 - 2a - 1 + 2a + 3 = -a^2 + 2$

(ii) $a + \frac{1}{2} \ge 1$ すなわち $a \ge \frac{1}{2}$ のとき、区間は軸を含むので、$x=a$で最小値をとる。

$m(a) = f(a) = -a^2 + 2a + 1$

3. 最終的な答え

ア: (1,2)

イ: 1

ウ: a+1/2

エ: 1/2

(i) $a < \frac{1}{2}$ のとき

$m(a) = -a^2 + 0a + 2$

オ: -1

カ: 0

キ: 2

(ii) $a \ge \frac{1}{2}$ のとき

$m(a) = -a^2 + 2a + 1$

ク: -1

ケ: 2

コ: 1