問題は、与えられた数 $\frac{7-\sqrt{5}}{2}$ の整数部分 $\alpha$ と小数部分 $\beta$ を求め、$\beta$ に関するいくつかの式を計算し、さらに不等式 $|x-\beta^2| \le \frac{1}{\beta^2}$ および $|x - \alpha^8| \le \beta^8$ を満たす整数 $x$ の個数を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数 $\frac{7-\sqrt{5}}{2}$ の整数部分 $\alpha$ と小数部分 $\beta$ を求め、$\beta$ に関するいくつかの式を計算し、さらに不等式 $|x-\beta^2| \le \frac{1}{\beta^2}$ および $|x - \alpha^8| \le \beta^8$ を満たす整数 $x$ の個数を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ と $\beta$ の計算

まず、$\sqrt{5}$ の近似値を求めます。$2 < \sqrt{5} < 3$ より、$4 < 5 < 9$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ です。

さらに、$2.2^2 = 4.84$, $2.3^2 = 5.29$ より、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ となります。

よって、$\frac{7-3}{2} < \frac{7-\sqrt{5}}{2} < \frac{7-2}{2}$ より、$2 < \frac{7-\sqrt{5}}{2} < \frac{5}{2} = 2.5$ となります。

したがって、$\alpha = 2$ です。

小数部分 $\beta$ は、$\beta = \frac{7-\sqrt{5}}{2} - \alpha = \frac{7-\sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{7-\sqrt{5} - 4}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ となります。

(2) $\beta + \frac{1}{\beta}$, $\beta - \frac{1}{\beta}$, $\beta^2 + \frac{1}{\beta^2}$, $|\beta^4 - \frac{1}{\beta^4}|$ の計算

$\beta = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ なので、$\frac{1}{\beta} = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\beta + \frac{1}{\beta} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$\beta - \frac{1}{\beta} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} - \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3-\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}{2} = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$

$\beta^2 + \frac{1}{\beta^2} = (\beta + \frac{1}{\beta})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

$\beta^4 - \frac{1}{\beta^4} = (\beta^2 + \frac{1}{\beta^2})(\beta^2 - \frac{1}{\beta^2}) = (\beta^2 + \frac{1}{\beta^2})(\beta + \frac{1}{\beta})(\beta - \frac{1}{\beta}) = 7 \cdot 3 \cdot (-\sqrt{5}) = -21\sqrt{5}$

$|\beta^4 - \frac{1}{\beta^4}| = |-21\sqrt{5}| = 21\sqrt{5}$

(3) 不等式 $|x - \beta^2| \le \frac{1}{\beta^2}$ を満たす整数 $x$ の個数の計算

$\beta = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ より、$\beta^2 = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{\beta^2} = \frac{2}{7-3\sqrt{5}} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{(7-3\sqrt{5})(7+3\sqrt{5})} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{49-45} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

$|x - \beta^2| \le \frac{1}{\beta^2}$ より、$-\frac{1}{\beta^2} \le x - \beta^2 \le \frac{1}{\beta^2}$

$\beta^2 - \frac{1}{\beta^2} \le x \le \beta^2 + \frac{1}{\beta^2}$

$\frac{7-3\sqrt{5}}{2} - \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{7-3\sqrt{5}}{2} + \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

$\frac{7-3\sqrt{5}-7-3\sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{7-3\sqrt{5}+7+3\sqrt{5}}{2}$

$\frac{-6\sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{14}{2}$

$-3\sqrt{5} \le x \le 7$

$-3(2.2) < -3\sqrt{5} < -3(2.3)$

$-6.9 < -3\sqrt{5} < -6.6$

$-6 \le x \le 7$ を満たす整数 $x$ は、$-6, -5, ..., 6, 7$ の $7 - (-6) + 1 = 7+6+1 = 14$ 個

実際には $-6.708... \le x \le 7$ なので, $-6 \le x \le 7$ である整数 $x$ の個数は $7-(-6)+1 = 14$ 個です。

(4) 不等式 $|x - \alpha^8| \le \beta^8$ を満たす整数 $x$ の個数の計算

$\alpha = 2$ より、$\alpha^8 = 2^8 = 256$

$|x - 256| \le \beta^8$

$-\beta^8 \le x - 256 \le \beta^8$

$256 - \beta^8 \le x \le 256 + \beta^8$

ここで、$0 < \beta < 1$ なので、$0 < \beta^8 < 1$

したがって、$255 < 256 - \beta^8 < 256$ かつ $256 < 256 + \beta^8 < 257$

$256 - \beta^8 \le x \le 256 + \beta^8$ を満たす整数 $x$ は $256$ のみ

3. 最終的な答え

$\alpha = 2$

$\beta = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$\beta + \frac{1}{\beta} = 3$

$\beta - \frac{1}{\beta} = -\sqrt{5}$

$\beta^2 + \frac{1}{\beta^2} = 7$

$|\beta^4 - \frac{1}{\beta^4}| = 21\sqrt{5}$

不等式 $|x - \beta^2| \le \frac{1}{\beta^2}$ を満たす整数 $x$ の個数は 14 個

不等式 $|x - \alpha^8| \le \beta^8$ を満たす整数 $x$ の個数は 1 個