次の2次不等式を解け。 (1) $x^2 + x + 2 < 0$ (2) $-x^2 + 10x - 25 < 0$ (4) $2\sqrt{2}x + 1 \le -2x^2$ (5) $-3 > 2x^2 + 7x$

1. 問題の内容

次の2次不等式を解け。

(1) $x^2 + x + 2 < 0$

(2) $-x^2 + 10x - 25 < 0$

(4) $2\sqrt{2}x + 1 \le -2x^2$

(5) $-3 > 2x^2 + 7x$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + x + 2 < 0$

まず、$x^2 + x + 2 = 0$ の解を求めるために、判別式 $D$ を計算します。

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

$D < 0$ なので、$x^2 + x + 2 = 0$ は実数解を持ちません。

また、$x^2 + x + 2$ は下に凸な放物線なので、常に正の値を取ります。

したがって、$x^2 + x + 2 < 0$ を満たす実数 $x$ は存在しません。

(2) $-x^2 + 10x - 25 < 0$

両辺に $-1$ をかけると、

$x^2 - 10x + 25 > 0$

$(x - 5)^2 > 0$

$(x-5)^2 = 0$ となるのは $x = 5$ の時だけなので、

$x \ne 5$ のとき、$(x - 5)^2 > 0$ が成り立ちます。

(4) $2\sqrt{2}x + 1 \le -2x^2$

$2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 \le 0$

$(\sqrt{2}x)^2 + 2 \cdot \sqrt{2}x \cdot 1 + 1^2 \le 0$

$(\sqrt{2}x + 1)^2 \le 0$

$(\sqrt{2}x + 1)^2 \ge 0$ であるから、$(\sqrt{2}x + 1)^2 = 0$ のときのみ不等式を満たす。

$\sqrt{2}x + 1 = 0$

$\sqrt{2}x = -1$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(5) $-3 > 2x^2 + 7x$

$2x^2 + 7x + 3 < 0$

$(2x + 1)(x + 3) < 0$

$2x + 1 = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{2}$

$x + 3 = 0$ となるのは $x = -3$

$-3 < x < -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $x \ne 5$

(4) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(5) $-3 < x < -\frac{1}{2}$