数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は2つあり、それぞれ以下の通りです。 (1) 3, 6, 12, 21, 33, 48, ... (2) 2, 3, 6, 11, 18, 27, ...

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は2つあり、それぞれ以下の通りです。

(1) 3, 6, 12, 21, 33, 48, ...

(2) 2, 3, 6, 11, 18, 27, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列について

階差数列を求めます。

元の数列を $a_n$、階差数列を $b_n$ とします。

$b_1 = 6 - 3 = 3$

$b_2 = 12 - 6 = 6$

$b_3 = 21 - 12 = 9$

$b_4 = 33 - 21 = 12$

$b_5 = 48 - 33 = 15$

階差数列は $3, 6, 9, 12, 15, ...$ となり、これは初項3、公差3の等差数列です。したがって、$b_n = 3n$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で表されます。($n \ge 2$ の時)

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k$

$a_n = 3 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 3 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 3 + \frac{3n^2 - 3n}{2}$

$a_n = \frac{6 + 3n^2 - 3n}{2}$

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 6}{2}$

$a_n = \frac{3}{2}(n^2 - n + 2)$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3}{2}(1-1+2) = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$ となり、成り立ちます。

(2) の数列について

階差数列を求めます。

元の数列を $a_n$、階差数列を $b_n$ とします。

$b_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = 6 - 3 = 3$

$b_3 = 11 - 6 = 5$

$b_4 = 18 - 11 = 7$

$b_5 = 27 - 18 = 9$

階差数列は $1, 3, 5, 7, 9, ...$ となり、これは初項1、公差2の等差数列です。したがって、$b_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 2n - 1$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で表されます。($n \ge 2$ の時)

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)$

$a_n = 2 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 2 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 2 + n(n-1) - (n-1)$

$a_n = 2 + n^2 - n - n + 1$

$a_n = n^2 - 2n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1 - 2 + 3 = 2$ となり、成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3}{2}(n^2 - n + 2)$

(2) $a_n = n^2 - 2n + 3$