(1) 不等式 $5(x-3) < -2(x-14)$ を満たす最大の整数 $x$ を求める問題です。 (2) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{4}{3} \geq x - \frac{2}{3}$ を満たす自然数 $x$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $5(x-3) < -2(x-14)$ を満たす最大の整数 $x$ を求める問題です。

(2) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{4}{3} \geq x - \frac{2}{3}$ を満たす自然数 $x$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $5(x-3) < -2(x-14)$ を解きます。

まず、括弧を展開します。

$5x - 15 < -2x + 28$

次に、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に移項します。

$5x + 2x < 28 + 15$

$7x < 43$

両辺を 7 で割ります。

$x < \frac{43}{7}$

$\frac{43}{7} \approx 6.14$ なので、$x < 6.14$ を満たす最大の整数は 6 です。

(2) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{4}{3} \geq x - \frac{2}{3}$ を解きます。

まず、両辺に 6 をかけて分母を払います。

$6 \times \frac{x}{2} + 6 \times \frac{4}{3} \geq 6x - 6 \times \frac{2}{3}$

$3x + 8 \geq 6x - 4$

次に、$x$ の項を右辺に、定数項を左辺に移項します。

$8 + 4 \geq 6x - 3x$

$12 \geq 3x$

両辺を 3 で割ります。

$4 \geq x$

つまり、$x \leq 4$ となります。

これを満たす自然数 $x$ は、1, 2, 3, 4 の 4 個です。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 4