与えられた5つの数列の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた5つの数列の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 3, 6, 12, 21, 33, 48, ...

階差数列を考えると、3, 6, 9, 12, 15, ... となり、これは初項3、公差3の等差数列です。

階差数列の一般項は $3n$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 3 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = 3 + 3 \frac{(n-1)n}{2} = 3 + \frac{3}{2}(n^2 - n) = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 3 = 3$ となり、初項も満たします。

(2) 2, 3, 6, 11, 18, 27, ...

階差数列を考えると、1, 3, 5, 7, 9, ... となり、これは初項1、公差2の等差数列です。

階差数列の一般項は $2n-1$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 + 2 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 2 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1 - 2 + 3 = 2$ となり、初項も満たします。

(3) 15, 11, 3, -9, -25, -45, ...

階差数列を考えると、-4, -8, -12, -16, -20, ... となり、これは初項-4、公差-4の等差数列です。

階差数列の一般項は $-4n$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-4k) = 15 - 4 \sum_{k=1}^{n-1} k = 15 - 4 \frac{(n-1)n}{2} = 15 - 2(n^2 - n) = -2n^2 + 2n + 15$

$n=1$ のとき、$a_1 = -2 + 2 + 15 = 15$ となり、初項も満たします。

(4) 1, 2, 6, 13, 23, 36, ...

階差数列を考えると、1, 4, 7, 10, 13, ... となり、これは初項1、公差3の等差数列です。

階差数列の一般項は $3n-2$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k-2) = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k - 2 \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 3 \frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 1 + \frac{3}{2}(n^2 - n) - 2n + 2 = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n - 2n + 3 = \frac{3}{2}n^2 - \frac{7}{2}n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3}{2} - \frac{7}{2} + 3 = -2 + 3 = 1$ となり、初項も満たします。

(5) 4, 9, 18, 31, 48, 69, ...

階差数列を考えると、5, 9, 13, 17, 21, ... となり、これは初項5、公差4の等差数列です。

階差数列の一般項は $4n+1$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k+1) = 4 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 4 + 4 \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 4 + 2(n^2 - n) + n - 1 = 4 + 2n^2 - 2n + n - 1 = 2n^2 - n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2 - 1 + 3 = 4$ となり、初項も満たします。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 3$

(2) $a_n = n^2 - 2n + 3$

(3) $a_n = -2n^2 + 2n + 15$

(4) $a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{7}{2}n + 3$

(5) $a_n = 2n^2 - n + 3$