数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は、(1)の数列 $3, 6, 12, 21, 33, 48, ...$ の一般項を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は、(1)の数列 $3, 6, 12, 21, 33, 48, ...$ の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

階差数列とは、隣り合う項の差を取ってできる数列のことです。

与えられた数列: $3, 6, 12, 21, 33, 48, ...$

階差数列 $b_n$: $6-3, 12-6, 21-12, 33-21, 48-33, ...$

つまり、$b_n = 3, 6, 9, 12, 15, ...$ となります。

階差数列 $b_n$ は、初項3、公差3の等差数列であることがわかります。したがって、$b_n$ の一般項は、

$b_n = 3 + (n-1) \cdot 3 = 3n$

となります。

数列 $a_n$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

で求められます。ただし、$n \ge 2$です。

$a_1 = 3$なので、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 3 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k$

等差数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ を用いると、

$a_n = 3 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 3 + \frac{3n^2 - 3n}{2} = \frac{6 + 3n^2 - 3n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 6}{2}$

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 6}{2}$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{3(1)^2 - 3(1) + 6}{2} = \frac{3 - 3 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

となり、初項と一致します。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 6}{2}$

または

$a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 3$