問題は、与えられた数列の一般項 $a_n$ を求めることです。 (1) 3, 6, 12, 21, 33, 48, ... (2) 2, 3, 6, 11, 18, 27, ...

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列の一般項 $a_n$ を求めることです。

(1) 3, 6, 12, 21, 33, 48, ...

(2) 2, 3, 6, 11, 18, 27, ...

2. 解き方の手順

(1) 数列の階差数列を求めます。

3, 6, 12, 21, 33, 48, ...

階差数列は、

3, 6, 9, 12, 15, ...

となり、これは初項3、公差3の等差数列です。

階差数列の一般項を $b_n$ とすると、$b_n = 3n$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k$

$a_n = 3 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 3 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 3 + \frac{3n^2 - 3n}{2}$

$a_n = \frac{6 + 3n^2 - 3n}{2}$

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 6}{2}$

(2) 数列の階差数列を求めます。

2, 3, 6, 11, 18, 27, ...

階差数列は、

1, 3, 5, 7, 9, ...

となり、これは初項1、公差2の等差数列です。

階差数列の一般項を $b_n$ とすると、$b_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)$

$a_n = 2 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 2 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 2 + n^2 - n - n + 1$

$a_n = n^2 - 2n + 3$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3n^2 - 3n + 6}{2}$

(2) $a_n = n^2 - 2n + 3$