和 $S$ を計算する問題です。 $S = 1 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^n$

1. 問題の内容

和 $S$ を計算する問題です。

$S = 1 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^n$

2. 解き方の手順

この和を求めるために、公比を掛けたものを引くテクニックを利用します。

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^n$

次に、$S$ に公比である $2$ を掛けたものを考えます。

$2S = 1 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^4 + \dots + (2n-3) \cdot 2^n + (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$S$ から $2S$ を引きます。

$S - 2S = 1 \cdot 2^1 + (3-1) \cdot 2^2 + (5-3) \cdot 2^3 + \dots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 2^n - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^n - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{n+1} - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$2^3$ から $2^{n+1}$ までの和は、初項 $2^3 = 8$、公比 $2$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\frac{8(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 8(2^{n-1} - 1) = 2^{n+2} - 8$

したがって、

$-S = 2 + (2^{n+2} - 8) - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2^{n+2} - 6 - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2 \cdot 2^{n+1} - 6 - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = (2 - (2n-1)) \cdot 2^{n+1} - 6$

$-S = (3 - 2n) \cdot 2^{n+1} - 6$

$S = (2n-3) \cdot 2^{n+1} + 6$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3) \cdot 2^{n+1} + 6$