与えられた等式を数学的帰納法を用いて証明する問題です。等式は以下の通りです。 $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \cdots + n(2n+1) = \frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)$

1. 問題の内容

与えられた等式を数学的帰納法を用いて証明する問題です。等式は以下の通りです。

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \cdots + n(2n+1) = \frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n=1$ のとき:

左辺は $1 \cdot 3 = 3$

右辺は $\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (4 \cdot 1 + 5) = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 9 = 3$

よって、$n=1$ のとき等式は成り立つ。

(2) $n=k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \cdots + k(2k+1) = \frac{1}{6}k(k+1)(4k+5)$ が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき等式が成り立つことを示す。すなわち、

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \cdots + (k+1)(2(k+1)+1) = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(4(k+1)+5)$ を示す。

$n=k+1$ のときの左辺は、

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \cdots + k(2k+1) + (k+1)(2(k+1)+1)$

$= \frac{1}{6}k(k+1)(4k+5) + (k+1)(2k+3)$ (帰納法の仮定より)

$= \frac{1}{6}(k+1)[k(4k+5) + 6(2k+3)]$

$= \frac{1}{6}(k+1)[4k^2 + 5k + 12k + 18]$

$= \frac{1}{6}(k+1)[4k^2 + 17k + 18]$

$= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(4k+9)$

$= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(4(k+1)+5)$

これは $n=k+1$ のときの右辺に等しい。よって、$n=k+1$ のときも等式は成り立つ。

(1), (2), (3) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数nに対して、$1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \cdots + n(2n+1) = \frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)$ が成り立つ。