関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ の $0 \leq x \leq 3$ における最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ の $0 \leq x \leq 3$ における最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ を平方完成します。

$y = (x - a)^2 + 1$

これは、頂点が $(a, 1)$ の下に凸な放物線です。定義域は $0 \leq x \leq 3$ です。

$a$ の値によって場合分けして、最小値を求めます。

[1] $a < 0$ のとき：

定義域内で関数は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = (0 - a)^2 + 1 = a^2 + 1$

[2] $0 \leq a \leq 3$ のとき：

頂点の $x$ 座標 $x=a$ が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a - a)^2 + 1 = 1$

[3] $3 < a$ のとき：

定義域内で関数は単調減少なので、$x = 3$ で最小値をとります。

最小値は $y = (3 - a)^2 + 1 = a^2 - 6a + 10$

したがって、$a$の範囲で場合分けすると以下のようになります。

[1] $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最小値 $a^2 + 1$

[2] $0 \leq a \leq 3$ のとき、$x = a$ で最小値 $1$

[3] $3 < a$ のとき、$x = 3$ で最小値 $a^2 - 6a + 10$

3. 最終的な答え

[1] $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最小値 $a^2 + 1$

[2] $0 \leq a \leq 3$ のとき、$x = a$ で最小値 $1$

[3] $3 < a$ のとき、$x = 3$ で最小値 $a^2 - 6a + 10$