放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -2x + k$ の共有点の個数が、定数 $k$ の値によってどのように変化するかを調べる問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -2x + k$ の共有点の個数が、定数 $k$ の値によってどのように変化するかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

2つのグラフの共有点は、それぞれの式を連立させて得られる方程式の実数解の個数に対応します。

まず、連立方程式を作ります。

$x^2 = -2x + k$

次に、この方程式を整理して、二次方程式の形にします。

$x^2 + 2x - k = 0$

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac$ より、

$D = 2^2 - 4(1)(-k) = 4 + 4k$

判別式 $D$ の符号によって、二次方程式の実数解の個数が変化します。

- $D > 0$ のとき、実数解は2個

- $D = 0$ のとき、実数解は1個

- $D < 0$ のとき、実数解は0個

したがって、

- $4 + 4k > 0$ つまり $k > -1$ のとき、共有点は2個

- $4 + 4k = 0$ つまり $k = -1$ のとき、共有点は1個

- $4 + 4k < 0$ つまり $k < -1$ のとき、共有点は0個

3. 最終的な答え

- $k > -1$ のとき、共有点は2個

- $k = -1$ のとき、共有点は1個

- $k < -1$ のとき、共有点は0個