数列$\{a_n\}$の一般項が $a_n = k \cdot 2^{n-1}$ （$n=1,2,3,...$）で与えられているとき、数列の和 $S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の一般項が $a_n = k \cdot 2^{n-1}$ （$n=1,2,3,...$）で与えられているとき、数列の和 $S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_n = k \cdot 2^{n-1}$ が与えられているので、$S$ は等比数列の和として計算できます。

$S = a_1 + a_2 + ... + a_n$ なので、$a_1, a_2, ..., a_n$ をそれぞれ書き出すと、

$a_1 = k \cdot 2^{1-1} = k \cdot 2^0 = k$

$a_2 = k \cdot 2^{2-1} = k \cdot 2^1 = 2k$

$a_3 = k \cdot 2^{3-1} = k \cdot 2^2 = 4k$

...

$a_n = k \cdot 2^{n-1}$

したがって、$S = k + 2k + 4k + ... + k \cdot 2^{n-1}$となります。

これは、初項 $k$、公比 $2$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和なので、等比数列の和の公式を利用します。

等比数列の和の公式は、初項 $a$、公比 $r$ の数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$)

今の場合、$a = k$, $r = 2$ なので、

$S = \frac{k(1-2^n)}{1-2} = \frac{k(1-2^n)}{-1} = k(2^n - 1)$

3. 最終的な答え

$S = k(2^n - 1)$