放物線 $y = -2x^2 + ax - 2a$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線が点 $(3, 0)$ で $x$ 軸に接するとき、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + ax - 2a$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線が点 $(3, 0)$ で $x$ 軸に接するとき、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1：原点に関する対称移動

放物線 $y = -2x^2 + ax - 2a$ を原点に関して対称移動すると、

$-y = -2(-x)^2 + a(-x) - 2a$

$y = 2x^2 + ax + 2a$

ステップ2：平行移動

さらに、$x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、

$y - b = 2(x - 2)^2 + a(x - 2) + 2a$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) + ax - 2a + 2a + b$

$y = 2x^2 - 8x + 8 + ax + b$

$y = 2x^2 + (a - 8)x + 8 + b$

ステップ3：x軸に接する条件

この放物線が点 $(3, 0)$ で $x$ 軸に接するため、

$0 = 2(3)^2 + (a - 8)(3) + 8 + b$

$0 = 18 + 3a - 24 + 8 + b$

$0 = 3a + b + 2$

また、$x=3$ が重解を持つので、放物線の式は $y=2(x-3)^2$と表せる。

$y = 2(x-3)^2 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2x^2 - 12x + 18$

ステップ4：係数比較

ステップ2の結果とステップ3の結果を比較すると、

$a - 8 = -12$ より $a = -4$

$8 + b = 18$ より $b = 10$

ステップ5：確認

$3a+b+2 = 3(-4) + 10 + 2 = -12 + 10 + 2 = 0$ となるので、矛盾はない。

3. 最終的な答え

$a = -4$, $b = 10$

選択肢アが正解。