Tさんのグループが作成した問題で、$n$番目の図形の面積を$S cm^2$とするとき、$S = 2n + 1$となることを証明する問題です。解答用紙の空欄を埋めて証明を完成させます。

1. 問題の内容

Tさんのグループが作成した問題で、$n$番目の図形の面積を$S cm^2$とするとき、$S = 2n + 1$となることを証明する問題です。解答用紙の空欄を埋めて証明を完成させます。

2. 解き方の手順

まず、問題文から$n=1$のとき$S=3$、$n=2$のとき$S=5$であることがわかります。

$n=3$のときの面積を仮定して、$S = 2n + 1$ となることを示します。

$n = k$のとき、$S = 2k + 1$ と仮定します。

$n = k+1$のとき、$S = 2(k+1) + 1 = 2k + 3$ となることを証明すればよいです。

解答用紙を埋めることを考えます。

画像からは解答用紙が見えないため、一般的な数学的帰納法による証明の形式で答えます。

(1) $n=1$のとき、$S=3 = 2(1) + 1$なので、$S = 2n + 1$は成立する。

(2) $n=k$のとき、$S = 2k + 1$が成立すると仮定する。

$n = k+1$のとき、$S = 2(k+1) + 1 = 2k + 2 + 1 = (2k + 1) + 2$

$= S_k + 2$.

すなわち、$S_{k+1} = S_k + 2$.

$S_{k+1} = S_k + 2 = (2k + 1) + 2 = 2k + 3 = 2(k+1) + 1$

よって、$n = k+1$のときも成立する。

したがって、すべての自然数$n$について、$S = 2n + 1$が成立する。

画像から解答用紙の形がわからないので、適切な式で空欄を埋めてください。

3. 最終的な答え

$S = 2n + 1$ となることの証明は上記の通り。

解答用紙の空欄には、与えられた解答用紙の形式に従って、上記の証明を適切な形で記述してください。

たとえば、

① $2k+1$

② $2k+3$

③ $n=k+1$のときも成立する。

など。