2次関数 $y = x^2 - 2ax - 2$ ($1 \le x \le 3$)の最大値を求める問題です。軸が動くため、$a$ の値によって最大値をとる $x$ の値が変わります。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax - 2$ ($1 \le x \le 3$)の最大値を求める問題です。軸が動くため、$a$ の値によって最大値をとる $x$ の値が変わります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax - 2 = (x - a)^2 - a^2 - 2$

この関数の軸は $x = a$ です。定義域は $1 \le x \le 3$ です。

軸 $x=a$ の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 2$ のとき

定義域 $1 \le x \le 3$ において、$x=3$ のときに最大値をとります。

$x = 3$ を $y = x^2 - 2ax - 2$ に代入すると、

$y = 3^2 - 2a(3) - 2 = 9 - 6a - 2 = -6a + 7$

よって、最大値は $-6a + 7$ です。

(ii) $a \ge 2$ のとき

定義域 $1 \le x \le 3$ において、$x=1$ のときに最大値をとります。

$x = 1$ を $y = x^2 - 2ax - 2$ に代入すると、

$y = 1^2 - 2a(1) - 2 = 1 - 2a - 2 = -2a - 1$

よって、最大値は $-2a - 1$ です。

以上より、

$a < 2$ のとき、最大値は $-6a + 7$

$a \ge 2$ のとき、最大値は $-2a - 1$

3. 最終的な答え

ウ

$\begin{cases}

-6a+7 & (a<2) \\

-2a-1 & (a\ge2)

\end{cases}$