$a$ は正の定数とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が 15 で、最小値が -3 であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が 15 で、最小値が -3 であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = ax^2 - 4ax + b = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

したがって、この2次関数の頂点は $(2, -4a + b)$ となります。

$a > 0$ より、このグラフは下に凸の放物線です。

軸は $x = 2$ なので、定義域 $0 \le x \le 5$ における最小値は $x = 2$ のときにとり、最大値は $x = 5$ のときにとります。

したがって、

最小値：$-4a + b = -3$

最大値：$y(5) = a(5)^2 - 4a(5) + b = 25a - 20a + b = 5a + b = 15$

上記の2つの式を連立方程式として解きます。

$-4a + b = -3$

$5a + b = 15$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$9a = 18$

$a = 2$

$a = 2$ を $-4a + b = -3$ に代入すると、

$-4(2) + b = -3$

$-8 + b = -3$

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 5$