与えられた行列 $A$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) 行列 $A = \begin{bmatrix} -5x+6y & 2x-2y \\ -15x+15y & 6x-5y \end{bmatrix}$ を対角化し、固有ベクトル $P$、左右固有ベクトル $R$、$R^{-1}$ を求めます。ただし、$x \neq 0$, $y \neq 0$ で $x \neq y$ とします。 (2) $A = \begin{bmatrix} -13 & 4 \\ -30 & 9 \end{bmatrix}$ のとき、(1) の結果を用いて $x, y$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} -5x+6y & 2x-2y \\ -15x+15y & 6x-5y \end{bmatrix}$ を対角化し、固有ベクトル $P$、左右固有ベクトル $R$、$R^{-1}$ を求めます。ただし、$x \neq 0$, $y \neq 0$ で $x \neq y$ とします。

(2) $A = \begin{bmatrix} -13 & 4 \\ -30 & 9 \end{bmatrix}$ のとき、(1) の結果を用いて $x, y$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の対角化

まず、$A$ の固有値を求めます。

$A$ の固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。

\begin{align*}

\det(A - \lambda I) &= \det \begin{bmatrix} -5x+6y - \lambda & 2x-2y \\ -15x+15y & 6x-5y - \lambda \end{bmatrix} \\

&= (-5x+6y - \lambda)(6x-5y - \lambda) - (2x-2y)(-15x+15y) \\

&= \lambda^2 - (x+y) \lambda + (-5x+6y)(6x-5y) - (2x-2y)(-15x+15y) \\

&= \lambda^2 - (x+y) \lambda + (-30x^2 + 25xy + 36xy - 30y^2) - (-30x^2 + 30xy + 30xy - 30y^2) \\

&= \lambda^2 - (x+y) \lambda + (-30x^2 + 61xy - 30y^2) - (-30x^2 + 60xy - 30y^2) \\

&= \lambda^2 - (x+y) \lambda + xy = 0

\end{align*}

固有値は $\lambda_1 = x$, $\lambda_2 = y$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = x$ のとき、$(A - xI)v_1 = 0$ を満たす $v_1$ を求めます。

\begin{align*}

\begin{bmatrix} -6x+6y & 2x-2y \\ -15x+15y & 5x-5y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

\end{align*}

$-6x+6y = -6(x-y)$, $2x-2y=2(x-y)$ より、$-6(x-y)a + 2(x-y)b = 0$。 $x \neq y$ より、$-3a + b = 0$ なので、$b = 3a$。よって、$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$。

$\lambda_2 = y$ のとき、$(A - yI)v_2 = 0$ を満たす $v_2$ を求めます。

\begin{align*}

\begin{bmatrix} -5x+5y & 2x-2y \\ -15x+15y & 6x-6y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

\end{align*}

$-5x+5y = -5(x-y)$, $2x-2y=2(x-y)$ より、$-5(x-y)a + 2(x-y)b = 0$。 $x \neq y$ より、$-5a + 2b = 0$ なので、$2b = 5a$。よって、$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}$。

したがって、$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ です。

$R = P^{-1}$ であり、

$R = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ です。

$R^{-1} = P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$.

(2) $x, y$ の計算

$A = \begin{bmatrix} -5x+6y & 2x-2y \\ -15x+15y & 6x-5y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -13 & 4 \\ -30 & 9 \end{bmatrix}$

$2x-2y = 4$ より $x-y = 2$。

$-5x+6y = -13$ に $x = y+2$ を代入して、

$-5(y+2) + 6y = -13$

$-5y - 10 + 6y = -13$

$y = -3$

$x = y+2 = -3 + 2 = -1$

3. 最終的な答え

(1)

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$,

$R = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$,

$R^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$

(2)

$x = -1$, $y = -3$