与えられた複素数係数の方程式 $ (3+2i)^3 - 5(3+2i)^2 + (3+2i)a + b = 0 $ を満たす実数 $a, b$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

与えられた複素数係数の方程式 $(3+2i)^3 - 5(3+2i)^2 + (3+2i)a + b = 0$ を満たす実数 $a, b$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$(3+2i)^2$ と $(3+2i)^3$ を計算する。

$(3+2i)^2 = (3+2i)(3+2i) = 9 + 12i + 4i^2 = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i$

$(3+2i)^3 = (3+2i)(5+12i) = 15 + 36i + 10i + 24i^2 = 15 + 46i - 24 = -9 + 46i$

次に、計算結果を方程式に代入する。

$(-9+46i) - 5(5+12i) + (3+2i)a + b = 0$

$-9 + 46i - 25 - 60i + 3a + 2ai + b = 0$

$(-9 - 25 + 3a + b) + (46 - 60 + 2a)i = 0$

$(3a + b - 34) + (2a - 14)i = 0$

複素数が0になるのは、実部と虚部がともに0のときなので、以下の連立方程式を得る。

$3a + b - 34 = 0$

$2a - 14 = 0$

2番目の式から、$2a = 14$ なので $a = 7$ が得られる。

これを1番目の式に代入すると、$3(7) + b - 34 = 0$ より $21 + b - 34 = 0$。

したがって、$b - 13 = 0$ より $b = 13$ が得られる。

3. 最終的な答え

$a = 7, b = 13$